diff --git a/kompilat/05-taylor.tex b/kompilat/05-taylor.tex index b565e15..67dc968 100644 --- a/kompilat/05-taylor.tex +++ b/kompilat/05-taylor.tex @@ -34,7 +34,7 @@ Tečna funkce $f$ v bodě $a$ představuje tzv. lineární aproximaci funkce $f$ \caption{\label{fig:aprox_tecna} Tečna jakožto lineární aproximace funkce. Lze očekávat, že souhlas je dobrý na malém okolí bodu, kde uvažujeme tečnu. Jak odhadnout chybu mezi funkcí a aproximací?} \end{figure} -Pokud chceme funkce aproximovat i na větších intervalech, zřejmě nevystačíme pouze s přímkami, vizte obrázek~\ref{fig:aprox_interval}. Nabízí se uvažovat místo polynomů prvního stupně (přímky) polynomy vyšších stupňů. V této kapitole se budeme zabývat, jak tyto aproximační polynomy zkonstruovat. +Pokud chceme funkce aproximovat i na větších intervalech, zřejmě nevystačíme pouze s přímkami, vizte obrázek~\ref{fig:aprox_interval}. Nabízí se uvažovat místo polynomů prvního stupně (přímky) polynomy vyšších stupňů. V této kapitole se budeme zabývat problémem, jak tyto aproximační polynomy zkonstruovat. S pomocí derivací vyšších stupňů se naučíme sestrojit tzv. Taylorovy polynomy, které představují v jistém smyslu nejlepší možnou aproximaci k dané funkci. \begin{figure}[ht] {\centering @@ -170,7 +170,7 @@ Shrňme si toto pozorování do následující věty. \[ f^{(2k)}(x) = (-1)^k \sin(x) \quad \mathrm{a} \quad f^{(2k+1)}(x) = (-1)^k \cos(x). \] Proto \[ f^{(2k)}(0) = 0 \quad \mathrm{a} \quad f^{(2k+1)}(0) = (-1)^k. \] - Výsledkem pro $n = 2\ell$ nebo $n = 2\ell -1$ platí + Taylorův polynom stupně $n = 2\ell$ je stejný jako Taylorův polynom stupně $n = 2\ell -1$ a platí \[ T_{n}(x) = \sum_{j=0}^{n} \frac{f^{(j)}(0)}{j!} x^j = \sum_{k=0}^{\ell-1} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} x^{2k+1}. \] Speciálně tedy platí $T_{2n} = T_{2n-1}$, $n\in\mathbb{N}$ a ještě speciálněji třeba $T_{40} = T_{39}$. Ukázka několika Taylorových polynomů funkce sinus v bodě $0$ je uvedena na obrázku~\ref{fig:taylor_prik}. @@ -188,7 +188,7 @@ Shrňme si toto pozorování do následující věty. %% \section{Chyba aproximace} -V této podkapitole se budeme zabývat chybou mezi původní funkcí a Taylorovým polynomem. Kdybychom tuto chybu nebyli schopni aspoň odhadnout, pak by aproximace byla nepoužitelná. Definujme si nejprve jasně chybu (zbytek), který zkoumáme. +V této podkapitole se budeme zabývat chybou mezi původní funkcí a Taylorovým polynomem. Kdybychom tuto chybu nebyli schopni alespoň odhadnout, pak by aproximace byla nepoužitelná. Definujme si nejprve jasně chybu (zbytek), který zkoumáme. \begin{defi}\index{vzorec!Taylorův} Nechť funkce $f$ má v bodě $a$ konečnou $n$-tou derivaci. Pro všechna přípustná $x$ položme @@ -265,7 +265,7 @@ Výraz $|f(x) - Q(x)|$ představuje absolutní velikost chyby pří aproximaci f \[ |f(x) - T_n(x)| < | f(x) - T_{n-1}(x)| \quad \textrm{pro každé} \ x\in H_0\smallsetminus\{0\}. \] Tedy, každý další Taylorův polynom aproximuje funkci $f$ lépe než předchozí (pokud není shodný s předchozím). -Jak ukazuje následující příklad, mohou existovat i patologické příklady, kdy aproximace pomocí Taylorových polynomů nedává dobré použitelné výsledky. +Jak ukazuje následující příklad, mohou existovat i patologické příklady, kdy aproximace pomocí Taylorových polynomů nedává dobře použitelné výsledky. \begin{prik} Zkoumejte Taylorovy polynomy funkce @@ -294,6 +294,10 @@ Jak ukazuje následující příklad, mohou existovat i patologické příklady, Vynecháváme. \end{proof} +\begin{pozn} + Pro číslo $\xi$ z předchozí věty tedy platí $0 < |\xi| < |x|$. +\end{pozn} + Tato věta nám dává velmi důležitou informaci o zbytku v Taylorově vzorci. Umožňuje \textbf{odhadovat} chybu mezi původní funkcí a jejím Taylorovým polynomem. \begin{prik} @@ -427,13 +431,21 @@ Poloměr konvergence ale vždy \emph{nemusí} jít spočítat pomocí limity pod a $\sum_{k=0}^\infty |x|^k$ konverguje pro $|x| < 1$. \end{prik} +\begin{defi} + Jestliže $f$ je funkce mající v bodě $c$ derivace všech řádů, potom mocninnou řadu + \[ + \sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(c)}{k!} (x-c)^k, + \] + nazýváme \emph{Taylorovou řadou funkce $f$ v bodě $c$}. +\end{defi} + \begin{prik} Rozeberme všechny tyto poznatky na příkladu funkce $f(x) = \frac{1}{1-x}$ a její Taylorovy řady v bodě $0$, \[ \sum_{k=0}^\infty x^k. \] - Platí $f^{(k)}(x) = \frac{k!}{(1-x)^{k-1}}$, $x\neq 0$, $k\in\mathbb{N}$. Proto $f^{(k)}(0) = k!$. Zadání je tedy v pořádku, tato řada je skutečně Taylorova příslušné funkce v bodě $0$. Pro poloměr konvergence máme + Platí $f^{(k)}(x) = \frac{k!}{(1-x)^{k-1}}$, $x\neq 0$, $k\in\mathbb{N}$. Proto $f^{(k)}(0) = k!$. Zadání je tedy v pořádku, tato řada je skutečně Taylorovou řadou příslušné funkce v bodě $0$. Pro poloměr konvergence máme \[ \lim_{k\to\infty} \bigg| \frac{1}{1} \bigg| = 1 = \frac{1}{R}. \] @@ -521,8 +533,8 @@ Tuto kapitolu uzavřeme několika řešenými příklady. Kapesní kalkulátory většinou přímo nepoužívají mocninné rozvoje pro výpočet hodnot trigonometrických funkcí ($\sin$, $\cos$, $\mathrm{tan}$, atd.). -\begin{pozn}{\textbf{CO}ordinate \textbf{R}otation \textbf{DI}gital \textbf{C}omputer} - Algoritmus k výpočtu např. funkce $\sin$ rafinovaně využívá +\begin{pozn}[\itshape\textbf{CO}ordinate \textbf{R}otation \textbf{DI}gital \textbf{C}omputer] + Algoritmus k výpočtu například funkčních hodnot funkce $\sin$ rafinovaně využívá \begin{enumerate} \item součtové vzorce pro trigonometrické funkce, \item vzorky, tj. hodnoty funkce $\sin$ \textbf{předem napočtené} (například pomocí Taylorova polynomu) pro jistou množinu úhlů.