diff --git a/kompilat/06-integrace.tex b/kompilat/06-integrace.tex index 3f09b88..926c83f 100644 --- a/kompilat/06-integrace.tex +++ b/kompilat/06-integrace.tex @@ -17,7 +17,7 @@ Nejprve zavedeme pojem primitivní funkce. Jak uvidíme, jedná se v jistém smyslu o inverzní pojem k pojmu derivace funkce. Význam primitivních funkcí rozebereme podrobně v následujících kapitolách. \begin{defi}\label{def:primitivni} - Nechť je funkce $f$ definována na intervalu $(a,b)$, kde $-\infty \leq a < b \leq +\infty$. Funkci $F$ splňující podmínku + Nechť $f$ je funkce definovaná na intervalu $(a,b)$, kde $-\infty \leq a < b \leq +\infty$. Funkci $F$ splňující podmínku \[ F'(x) = f(x) \ \text{pro každé} \ x \in (a,b) \] nazýváme \emph{primitivní funkcí}\index{funkce!primitivní} k funkci $f$ na intervalu $(a,b)$. \end{defi} @@ -52,7 +52,9 @@ Proto je přirozené zavést značení pro množinu všech primitivních funkcí \begin{pozn}[Terminologie] Najdeme-li k $f$ primitivní funkci $F$ na intervalu $(a,b)$, zapisujeme tento fakt obvykle \[ \int f(x) \,\mathrm{d}x = F(x) + c. \] - Funkci $f$ nazýváme \emph{integrovanou funkcí}, $x$ \emph{integrační proměnnou} a $c$ \emph{integrační konstantou}. Úkolu určit $\int f(x) \,\dx$ říkáme \uv{najít primitivní funkci k $f$}, nebo \uv{vypočítat integrál z $f$}, nebo \uv{integrovat $f$}. + Funkci $f$ nazýváme \emph{integrovanou funkcí}, $x$ \emph{integrační proměnnou} a $c$ \emph{integrační konstantou}. Úkolu určit + \[ \int f(x) \,\mathrm{d}x \] + říkáme \uv{najít primitivní funkci k $f$}, nebo \uv{vypočítat integrál z $f$}, nebo \uv{integrovat $f$}. Důvod pro tuto notaci bude odhalen v následujících kapitolách. Zde aspoň poznamenejme, že symbol $\int$ je stylizované \textit{S}. \end{pozn} @@ -154,8 +156,9 @@ a mluvíme o linearitě neurčitého integrálu. Dle předchozí věty ihned dostáváme výsledek \begin{align*} \int \left( 4x^2 - \frac{1}{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} \right) \mathrm{d}x &= 4 \int x^2\,\mathrm{d}x - \int \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x + \int x^{-\nicefrac{2}{3}}\,\mathrm{d}x = \\ - &= 4\cdot \frac{x^3}{3} - \ln |x| + \frac{x^{\nicefrac{1}{3}}}{\nicefrac{1}{3}} = \frac{4}{3} x^3 - \ln |x| + 3 x^{\nicefrac{1}{3}} + C. \qedhere + &= 4\cdot \frac{x^3}{3} - \ln |x| + \frac{x^{\nicefrac{1}{3}}}{\nicefrac{1}{3}} = \frac{4}{3} x^3 - \ln |x| + 3 x^{\nicefrac{1}{3}} + C, \end{align*} + který platí na libovolném otevřeném intervalu, který je podmnožinou $\mathbb R \smallsetminus \{0\}$. \end{prik} \begin{prik} @@ -312,7 +315,7 @@ Metoda integrace per partes byla založena na znalosti derivace součinu dvou fu \int \!\! \underbrace{\frac{1}{x^2}}_{-\varphi'(x)} \!\! \sin \underbrace{\frac{1}{x}}_{\varphi(x)} \mathrm{d}x = - \int \sin y \,\mathrm{d}y = \cos y + C = \cos \frac{1}{x} + C. \end{align*} - Čímž je výpočet dokončen. + Čímž je výpočet dokončen. Výsledek platí na libovolném otevřeném podintervalu $\mathbb R \smallsetminus \{0\}$. \end{prik} \begin{prik} @@ -321,11 +324,13 @@ Metoda integrace per partes byla založena na znalosti derivace součinu dvou fu \int \frac{1}{(1+x)\sqrt{x}} \,\mathrm{d}x. \] + Výpočet provedeme na intervalu $(0, +\infty)$ což je největší interval, na kterém je integrand definován. Pro substituci použijeme $y = \varphi(x) = {\color{red}\sqrt{x}}$, pro jejíž derivaci platí $\varphi'(x) =\color{blue} \frac{1}{2\sqrt{x}}$. Tudíž, \begin{align*} \int \frac{1}{(1+x)\sqrt{x}} \,\mathrm{d}x &= 2 \int \frac{1}{1+\big({\color{red}\sqrt{x}}\big)^2} \cdot {\color{blue} \frac{1}{2\sqrt{x}} } \,\mathrm{d}x = - 2 \int \frac{1}{1+y^2} \,\mathrm{d}y = \\ &= 2 \arctg y + C = 2 \arctg \sqrt{x} + C. \qedhere + 2 \int \frac{1}{1+y^2} \,\mathrm{d}y = \\ &= 2 \arctg y + C = 2 \arctg \sqrt{x} + C. \end{align*} + Výsledek platí na $(0, +\infty)$, protože $\arctg y$ je primitivní funkcí k $\frac{1}{1 + y^2}$ na $\varphi((0,+\infty)) = (0,+\infty)$. \end{prik} \begin{prik} @@ -518,7 +523,7 @@ Nyní upravíme jmenovatel do tvaru součinu kořenových činitelů. Pro polyno \begin{pozn} Připomeňme, že diskriminant kvadratického výrazu $ax^2+bx+c$ je číslo - $D = b^2 - 4ac$. Pokud má tento polynom reálné koeficienty, pak má dva různé reálné kořeny pokud $D>0$, jeden dvojnásobný kořen pokud $D>0$ a dva komplexní kořeny pokud $D<0$. + $D = b^2 - 4ac$. Pokud má tento polynom reálné koeficienty, pak má dva různé reálné kořeny pokud $D>0$, jeden dvojnásobný kořen pokud $D=0$ a dva komplexní kořeny pokud $D<0$. \end{pozn} \begin{prik} @@ -555,7 +560,7 @@ Nyní se náš zlomek pokusíme vyjádřit jako součet \uv{jednodušších} zlo \end{veta} \begin{proof} - K důkazu je potřeba využít znalostí o řešení lineárních soustav rovnic, které v tento okamžik nemáme k dispozici a budete se jimi zabývat v předmětu BI-LIN. V následujících příkladech vždy tvrzení této ověříme (potřebujeme najít hodnoty zmiňovaných konstant, o kterých pouze podle věty víme, že existují). + K důkazu je potřeba využít znalostí o řešení lineárních soustav rovnic, které v tento okamžik nemáme k dispozici a budete se jimi zabývat v předmětu BI-LIN. V následujících příkladech vždy tvrzení této věty ověříme (potřebujeme najít hodnoty zmiňovaných konstant, o kterých podle věty pouze víme, že existují). \end{proof} \begin{prik} @@ -628,7 +633,7 @@ Nyní se náš zlomek pokusíme vyjádřit jako součet \uv{jednodušších} zlo \] Odtud opět dostáváme rovnici \[ - x^3 = A x^3 + Bx^2 + (A + C)x + B + D = 0. + x^3 = A x^3 + Bx^2 + (A + C)x + B + D. \] Porovnáním koeficientů ihned dostáváme $A = 1$, $B = 0$ a tudíž $C = -1$ a $D = 0$. \end{prik} @@ -716,8 +721,8 @@ Na závěr této kapitoly uvedeme několik řešených příkladů. \int \frac{x}{x^2 + 2x + 5} \,\mathrm{d}x. \] - Integrand se od minulého příkladu liší pouze čitatelem. Nyní nejprve - v čitateli \uv{vyrobíme} derivaci jmenovatele + Integrand se od minulého příkladu liší pouze čitatelem. Nyní však nejprve + v čitateli snadno \uv{vyrobíme} derivaci jmenovatele \begin{align*} \int \frac{x}{x^2 + 2x + 5} \,\mathrm{d}x &= \frac{1}{2} \int \frac{2x+2\,{\color{red}-}\,2}{x^2 + 2x + 5} \mathrm{d}x = \\ @@ -740,7 +745,7 @@ Na závěr této kapitoly uvedeme několik řešených příkladů. \begin{align*} \int \frac{1}{(x^2 + 1)^2} \,\mathrm{d}x &= \int \frac{1 {\color{red}+} x^2 {\color{red}-} x^2}{(x^2 + 1)^2} \,\mathrm{d}x = \int \frac{1}{x^2 + 1} \,\mathrm{d}x - \int x \cdot \frac{x}{(x^2 + 1)^2} \,\mathrm{d}x = \\ - & =\begin{tikzpicture}[baseline=0pt] + & = \begin{tikzpicture}[baseline=0pt] \draw[thick] (-1,-1) -- (-.8,1); \node at (-.8,.5) [right] {$x$}; \node at (-.9,-.5) [right] {$1$}; @@ -749,7 +754,7 @@ Na závěr této kapitoly uvedeme několik řešených příkladů. \node at (1.5,-.5) [left] {$-\frac{1}{2} \frac{1}{x^2 + 1}$}; \end{tikzpicture} = \arctg x + \frac{1}{2} \frac{x}{x^2 + 1} - \frac{1}{2} \arctg x = \\ - &= \frac{1}{2} \arctg x + \frac{1}{2} \frac{x}{x^2+1} + c. \qedhere + &= \frac{1}{2} \arctg x + \frac{1}{2} \frac{x}{x^2+1} + C, \qedhere \end{align*} \end{prik} @@ -879,14 +884,14 @@ Celá konstrukce Riemannova integrálu vychází ze znalosti obsahu obdélníka. Tedy \[ \sigma = \big\{ a, \, a + \Delta, \, a + 2 \Delta, \ldots, \, a + (n-1)\Delta, \, a + n\Delta = b \big\}. \] - V případě $n=5$ si lze ekvidistantní rozdělení intervalu $\langle a,b \rangle$ představit jako na následujícím obrázku č.~\ref{fig:ekvi_deleni}. + V případě $n=5$ si lze ekvidistantní dělení intervalu $\langle a,b \rangle$ představit jako na následujícím obrázku č.~\ref{fig:ekvi_deleni}. \end{prik} \begin{figure}[ht] {\centering \includegraphics{../figs/bi-zma-49-ekvidistantni-deleni.pdf} \par} - \caption{\label{fig:ekvi_deleni}Příklad ekvidistantního dělené intervalu.} + \caption{\label{fig:ekvi_deleni}Příklad ekvidistantního dělení intervalu.} \end{figure} Buďte funkce $f$ definovaná a omezená na intervalu $J =\langle a,b \rangle$ a $\sigma = \{x_0,x_1,\ldots,x_n\}$ dělení intervalu $J$. Označme @@ -900,7 +905,7 @@ Potom součty S(\sigma,f) \ceq \sum_{i=1}^n M_i(\sigma,f) \Delta_i \quad \text{a} \quad s(\sigma,f) \ceq \sum_{i=1}^n m_i(\sigma,f) \Delta_i \] -nazýváme \emph{horním} a \emph{dolním} \emph{součtem funkce} $f$ při dělení $\sigma$.\index{součet!horní při rozdělení}\index{součet!dolní při rozdělení} +nazýváme \emph{horním} a \emph{dolním} \emph{součtem funkce} $f$ při dělení $\sigma$.\index{součet!horní při dělení}\index{součet!dolní při dělení} Dolní, resp. horní, součty představují obsah plochy tvořené obdélníky pod, resp. nad, grafem funkce s podstavami tvořenými částečnými dělícími intervaly. Následující obrázky č.~\ref{fig:dolni_soucet} a \ref{fig:horni_soucet} jsou ilustrativní. @@ -975,9 +980,9 @@ kde $(\sigma_n)$ je libovolná normální posloupnost dělení. \begin{prik} Vypočtěte integrál z konstantní funkce $f(x) = c$ na intervalu $\langle a,b \rangle$. - Pro libovolné rozdělení $\sigma$ intervalu $\langle a,b \rangle$ platí + Pro libovolné dělení $\sigma$ intervalu $\langle a,b \rangle$ platí \[ s(\sigma,f) = S(\sigma,f) = \mathcal{J}(\sigma,f) = c (b-a). \] - Takže pro libovolnou normální posloupnost $(\sigma_n)$ rozdělení intervalu $\langle a,b \rangle$ dostáváme + Takže pro libovolnou normální posloupnost $(\sigma_n)$ dělení intervalu $\langle a,b \rangle$ dostáváme \[ \lim_{n\to\infty} s(\sigma_n,f) = \lim_{n\to\infty} S(\sigma_n,f) = c(b-a). \] @@ -997,11 +1002,11 @@ kde $(\sigma_n)$ je libovolná normální posloupnost dělení. Pomocí definice vypočtěte Riemannův integrál funkce $f(x) = x$ na intervalu $J = \langle 0,1 \rangle$. - Zvolme normální posloupnost $(\sigma_n)$ ekvidistantních rozdělení intervalu $J$. + Zvolme normální posloupnost $(\sigma_n)$ ekvidistantních dělení intervalu $J$. \[ \sigma_n = \Big\{0 = x_0^{(n)}, \, x_1^{(n)}, \ldots,\, x_{n}^{(n)} = 1 \Big\}, \quad x_i^{(n)} = i \cdot \frac{1}{n}, \quad i = 0,1,\ldots,n. \] - Pro dolní součet při rozdělení $\sigma_n$ dostáváme + Pro dolní součet při dělení $\sigma_n$ dostáváme \[ s(\sigma_n,f) = \sum_{i=1}^n x_{i-1}^{(n)} \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n^2} \cdot \frac{n(n-1)}{2}. @@ -1060,7 +1065,7 @@ kde $(\sigma_n)$ je libovolná normální posloupnost dělení. %% \section{Vlastnosti Riemannova integrálu} -V dalším textu se pro jednoduchost omezíme na spojité omezené funkce, pro něž Riemannův integrál existuje. Následující vlastnosti lze odvodit přímo z definice Riemannova integrálu (resp. pomocí integrálních součtů a normálních posloupností rozdělení). První dvě věty velmi zjednodušují praktické výpočty. +V dalším textu se pro jednoduchost omezíme na spojité omezené funkce, pro něž Riemannův integrál existuje. Následující vlastnosti lze odvodit přímo z definice Riemannova integrálu (resp. pomocí integrálních součtů a normálních posloupností dělení). První dvě věty velmi zjednodušují praktické výpočty. \begin{veta}[Aditivita integrálu]\index{integrál!aditivita} Nechť $f$ a $g$ jsou spojité funkce na intervalu $\langle a,b \rangle$. @@ -1109,7 +1114,7 @@ Následující věta odhaluje vztah mezi určitým (Riemannův) a neurčitým (p \] \end{veta} -\begin{proof} Uvažme $\sigma = \{ x_0,x_1,\ldots,x_n \}$ rozdělení +\begin{proof} Uvažme $\sigma = \{ x_0,x_1,\ldots,x_n \}$ dělení intervalu $\langle a,b \rangle$. Použijeme Lagrangeovu větu (věta č.~\ref{veta:Lagrange}) o přírůstku funkce na funkci $F$ a intervaly $\langle x_{i-1},x_i \rangle$ postupně pro $i=1,2,\ldots,n$, \begin{align*} F(b) - F(a) &= \sum_{i=1}^n \Big( F(x_i) - F(x_{i-1}) \Big) = \sum_{i=1}^n F'(\alpha_i) (x_i - x_{i-1}) = \\ @@ -1117,7 +1122,7 @@ Následující věta odhaluje vztah mezi určitým (Riemannův) a neurčitým (p \end{align*} kde $\alpha_i \in (x_{i-1},x_i)$, $i=1,2,\ldots,n$. Takže \[ F(b) - F(a) = \mathcal{J}(\sigma,f). \] - Uvážíme-li nyní libovolnou normální posloupnost rozdělení $(\sigma_n)$ pak + Uvážíme-li nyní libovolnou normální posloupnost dělení $(\sigma_n)$ pak \[ F(b) - F(a) = \lim_{n\to\infty} \mathcal{J}(\sigma_n,f) = \int_a^b f(x) \,\mathrm{d}x. \qedhere \] @@ -1169,7 +1174,7 @@ Následující věta odhaluje vztah mezi určitým (Riemannův) a neurčitým (p % \end{prik} % \mode{\vfill} % Výraz za limitou představuje integrální součet funkce $f(x) = \sqrt{1+x}$ na intervalu -% $\langle 0,1 \rangle$ při ekvidistantním rozdělení +% $\langle 0,1 \rangle$ při ekvidistantním dělení % $\sigma_n = \Big\{0,\,\frac{1}{n},\,\frac{2}{n},\ldots,\frac{n-1}{n},\,1\Big\}$. Primitivní funkcí % k $f$ je $F(x) = \frac{2}{3}(1+x)^{\nicefrac{3}{2}}$. Takže % \begin{align*} @@ -1289,7 +1294,7 @@ Podobně lze formulovat i druhou větu o substituci pro určitý integrál. \begin{pozn} Pokud je funkce $f$ definována na intervalu $\langle a,b \rangle$, avšak není na něm spojitá, stále může mít Riemannův integrál. Nejjednodušším případem je situace s jedním bodem skokové nespojitosti: \begin{itemize} - \item existuje $c\in (a,b)$ tak, že $f$ je spojitá na $\langle a,c )$ a $(c,\rangle$, + \item existuje $c\in (a,b)$ tak, že $f$ je spojitá na $\langle a,c )$ a $(c,b\rangle$, \item existují konečné jednostranné limity v bodě $c$. \end{itemize} Potom platí @@ -1306,10 +1311,10 @@ Podobně lze formulovat i druhou větu o substituci pro určitý integrál. Funkce $f$ není spojitá v bodě $0$: \[ \lim_{x\to 0_+} f(x) = 1, \quad \lim_{x\to 0_-} f(x) = -1. \] Pro podrobnější představu vizte obrázek č.~\ref{fig:graf_priklad}. Takže - \begin{align*} + \[ \int_{-1}^1 f(x) \,\mathrm{d}x = \int_{-1}^0 (-2x-1)\,\mathrm{d}x + \int_0^1 1 \,\mathrm{d}x = -\Big[ x^2 + x \Big]_{-1}^0 + 1 = 1. \qedhere - \end{align*} + \] \end{prik} \begin{figure}[ht] @@ -1374,7 +1379,7 @@ Integrační množinou nemusí být celé $\mathbb{R}$. \] \end{prik} -V případě, že zkoumáme funkci neomezenou na zadaném intervalu, například $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ na $(0,1\rangle$, stále můžeme integraci limitně rozšířit na celou množinu $(0,1\rangle$. Klademe +V případě, že zkoumáme funkci neomezenou na zadaném intervalu, například $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ na $(0,1\rangle$, stále můžeme integraci limitně rozšířit na celou množinu $\langle 0,1\rangle$. Klademe \[ \int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x := \lim_{a\to 0_+} \int_a^1 x^{-1/2} \,\mathrm{d}x = 2 \lim_{a\to 0_+} \Big[ x^{1/2} \Big]_a^1 = 2 (1 - 0) = 2. \] @@ -1403,7 +1408,7 @@ Při integraci lze často využít symetrie integrované funkce. Následující \item Pomocí substituce $y=x+T$ a periodicity $f$ snadno nahlédneme, že \end{enumerate} \begin{align*} - \int_a^{a+T} f(x) \mathrm{d}x &= \int_a^b f(x) \mathrm{d}x - \int_{a+T}^b f(x) \mathrm{d}x = \int_{a+T}^{b+T} f(x) \mathrm{d} x - \int_{a+T}^b f(x) \mathrm{d}x = \\ + \int_a^{a+T} f(x) \mathrm{d}x &= \int_a^b f(x) \mathrm{d}x + \int^{a+T}_b f(x) \mathrm{d}x = \int_{a+T}^{b+T} f(x) \mathrm{d} x + \int^{a+T}_b f(x) \mathrm{d}x = \\ &= \int_{a+T}^{b+T} f(x) \mathrm{d} x + \int_{b}^{a+T} f(x) \mathrm{d}x = \int_b^{b+T} f(x) \mathrm{d}x. \qedhere \end{align*} @@ -1475,14 +1480,14 @@ Z geometrické interpretace Riemannova integrálu ihned plyne následující tvr \begin{prik} Vypočtěte obsah $S$ elipsy s hlavní poloosou $a$ a vedlejší poloosou $b$. - Rovnice elipsy zní $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$. Vzhledem k osovým symetriím stačí vypočíst čtvrtinu obsahu (vizte obrázek č.~\ref{fig:plocha_elipsa}). Vrchní oblouk elipsy v patřící do prvního kvadrantu je popsán funkcí ${\color{red}f}(x) = b \sqrt{1-x^2/a^2}$, $D_{\color{red}f} = \langle 0,a \rangle$. + Rovnice elipsy je $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$. Vzhledem k osovým symetriím stačí spočítat čtvrtinu obsahu (vizte obrázek č.~\ref{fig:plocha_elipsa}). Vrchní oblouk elipsy v patřící do prvního kvadrantu je popsán funkcí ${\color{red}f}(x) = b \sqrt{1-x^2/a^2}$, $D_{\color{red}f} = \langle 0,a \rangle$. Tudíž, použijeme-li substituci $x = a \sin t$, \begin{align*} \frac{1}{4} S &= \int_0^a f(x) \,\mathrm{d}x = b \int_0^a \sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}\,\mathrm{d}x = b \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-\sin^2(t)} \cdot a\cos(t)\,\dt = \\ &= ab\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2(t) \,\dt = \frac{\pi}{4} ab. \end{align*} - Dostáváme $S=\pi ab$. + Pro celkovou plochu tak dostáváme $S=\pi ab$. \end{prik} \begin{figure}[ht] @@ -1505,7 +1510,7 @@ Z geometrické interpretace Riemannova integrálu ihned plyne následující tvr \end{figure} \begin{prik} - Spočítejte obsah plochy ohraničen křivkami $y = x^3$ a $y = x$. Tato plocha je vyobrazená na obrázku č.~\ref{fig:priklad_plocha_poly}. + Spočítejte obsah plochy ohraničené křivkami $y = x^3$ a $y = x$. Tato plocha je vyobrazena na obrázku č.~\ref{fig:priklad_plocha_poly}. Nejprve nalezneme průsečíky grafů. Řešením rovnice $x^3 = x$ jsou $x=-1$, $x=1$ a $x=0$. Dostáváme proto průsečíky \[ @@ -1543,8 +1548,9 @@ Z geometrické interpretace Riemannova integrálu ihned plyne následující tvr \begin{prik} Nalezněte obsah plochy ohraničené křivkami \[ - y = {\color{red}\frac{1}{4} x^2 - 1}, \quad y = {\color{blue}1 - \frac{1}{4} x^2}, \quad x^2 + y^2 = 1. + y = {\color{red}\frac{1}{4} x^2 - 1}, \quad y = {\color{blue}1 - \frac{1}{4} x^2}, \quad x^2 + y^2 = 1, \] + která je vyobrazena na obrázku č.~\ref{fig:sauron}. Obsah útvaru bez vyjmuté kružnice je \[ @@ -1589,7 +1595,7 @@ V této kapitole se budeme zabývat vlastnostmi rotačních těles, tedy těles \end{veta} \begin{proof} - Uvažujme rozdělení $\sigma = \{ x_0,\, x_1, \ldots ,\, x_n\}$ intervalu + Uvažujme dělení $\sigma = \{ x_0,\, x_1, \ldots ,\, x_n\}$ intervalu $\langle a,b \rangle$. Použijeme stejné značení jako při definici Riemannova integrálu: \[ @@ -1610,7 +1616,7 @@ V této kapitole se budeme zabývat vlastnostmi rotačních těles, tedy těles \[ \pi s(\sigma,f^2) \leq V \leq \pi S(\sigma,f^2), \] - kde $s(\sigma,f^2)$ a $S(\sigma,f^2)$ jsou dolní a horní součet funkce $f^2$ při rozdělení $\sigma$. Zvolíme-li libovolnou posloupnost normálních rozdělení $(\sigma_n)$, pak ze spojitosti $f$ a věty o sevřené posloupnosti plyne + kde $s(\sigma,f^2)$ a $S(\sigma,f^2)$ jsou dolní a horní součet funkce $f^2$ při dělení $\sigma$. Zvolíme-li libovolnou posloupnost normálních dělení $(\sigma_n)$, pak ze spojitosti $f$ a věty o sevřené posloupnosti plyne \[ V = \pi \lim_{n\to\infty} s\big(\sigma_n,f^2\big) = \pi \lim_{n\to\infty} S\big(\sigma_n,f^2\big) = \pi \int_a^b f^2(x) \,\mathrm{d}x. \qedhere \] @@ -1705,14 +1711,17 @@ Dále se podívejme jak počítat obsah pláště rotačního tělesa. \end{proof} \begin{prik} - Vypočtěte povrch koule o poloměru $r$. + Vypočteme povrch koule o poloměru $r$. + + Použijeme stejnou funkci $f$ jako při výpočtu objemu, $f(x) = \sqrt{r^2 - x^2}$. Její derivace, + \[ f'(x) = \frac{-x}{\sqrt{r^2-x^2}}. \] + Sice není omezená na $\langle -r,r \rangle$, ale + \[ f(x) \sqrt{1+f'(x)^2} = \sqrt{r^2 - x^2} \cdot \sqrt{1+ \frac{x^2}{r^2-x^2}} = r. \] + Povrch koule tedy je + \[ + P = 2\pi \int_{-r}^r r \mathrm{d}x = 4\pi r^2. \qedhere + \] \end{prik} -Použijeme stejnou funkci $f$ jako při výpočtu objemu, $f(x) = \sqrt{r^2 - x^2}$. Její derivace, -\[ f'(x) = \frac{-x}{\sqrt{r^2-x^2}}. \] -Sice není omezená na $\langle -r,r \rangle$, ale -\[ f(x) \sqrt{1+f'(x)^2} = \sqrt{r^2 - x^2} \cdot \sqrt{1+ \frac{x^2}{r^2-x^2}} = r. \] -Povrch koule tedy je -\[ P = 2\pi \int_{-r}^r r \mathrm{d}x = 4\pi r^2. \] \begin{prik} Vypočtěte povrch rotačně symetrické nádoby s průřezem @@ -1727,7 +1736,7 @@ Povrch koule tedy je \draw[gray,thin] (1,{-sqrt(2)}) -- (1,0) node[anchor=south east,black] {$1$} -- (1,{sqrt(2)}); \end{tikzpicture} \par} - Kde stěna je udána grafem funkce $f(x) = \sqrt{x+1}$ nad intervalem $\langle 0,1 \rangle$. + kde stěna je udána grafem funkce $f(x) = \sqrt{x+1}$ nad intervalem $\langle 0,1 \rangle$. Nezapomeňme započítat i podstavu \[ @@ -1763,7 +1772,7 @@ V této podkapitole se budeme zabývat křivkou a její délkou. Konkrétně se \begin{pozn} Připomeňme, že kulaté závorky v předchozí definici představují uspořádanou dvojici dvou reálných čísel (bod v $\mathbb{R}^2$). Zobrazení $F$ tedy každému $t\in\langle a,b \rangle$ přiřadí $F(t)$, bod v rovině $\mathbb{R}^2$. - Spojitost složek $f$ a $g$ pak přesně vyjadřuje požadavek, aby křivka byla \uv{nakreslitelná jedním tahem}. Bez požadavku spojitosti by výsledné množina bodů v rovině vůbec nemusela připomínat to co normálně nazýváme křivkou. + Spojitost složek $f$ a $g$ pak přesně vyjadřuje požadavek, aby křivka byla \uv{nakreslitelná jedním tahem}. Bez požadavku spojitosti by výsledné množina bodů v rovině vůbec nemusela připomínat to, co normálně nazýváme křivkou. \end{pozn} \begin{prik} @@ -1773,12 +1782,12 @@ V této podkapitole se budeme zabývat křivkou a její délkou. Konkrétně se Jak vypočíst délku křivky? Umíme snadno počítat délku úseček spojující dva body (pomocí Euklidovské vzdálenosti dvou bodů v rovině). Proto se nabízí možnost aproximovat křivku pomocí lomené čáry (viz obrázek č.~\ref{fig:lomena_cara}), jejíž délku snadno vypočteme. Postupný zjemňováním lomené čáry se pak limitně budeme blížit k délce původní křivky (pokud to půjde). \begin{defi} - Pro křivku $F$ v $\mathbb{R}^2$ a rozdělení $\sigma = \{a=t_0,\, t_1, \ldots,\, t_n = b\}$ + Pro křivku $F$ v $\mathbb{R}^2$ a dělení $\sigma = \{a=t_0,\, t_1, \ldots,\, t_n = b\}$ intervalu $\langle a,b \rangle$ položme \[ \ell(\sigma) = \sum_{i=1}^n \sqrt{\big( f(t_i) - f(t_{i-1}) \big)^2 + \big( g(t_i) - g(t_{i-1}) \big)^2}. \] - Toto číslo nazýváme \emph{délkou lomené čáry} aproximující křivku $F$ při rozdělení $\sigma$. + Toto číslo nazýváme \emph{délkou lomené čáry} aproximující křivku $F$ při dělení $\sigma$. \end{defi} \begin{figure} @@ -1806,7 +1815,7 @@ Jak vypočíst délku křivky? Umíme snadno počítat délku úseček spojujíc \caption{\label{fig:lomena_cara}Aproximace křivky pomocí lomené čáry.} \end{figure} -\begin{veta} Je-li $F$ křivka v $\mathbb{R}^2$, $F(t) = \big(f(t),\, g(t)\big)$ a funkce $f$ a $g$ jsou spojitě diferencovatelné na $\langle a,b \rangle$, pak pro libovolnou normální posloupnost rozdělení $\sigma$ intervalu $\langle a,b \rangle$ existuje konečná limita +\begin{veta} Je-li $F$ křivka v $\mathbb{R}^2$, $F(t) = \big(f(t),\, g(t)\big)$ a funkce $f$ a $g$ jsou spojitě diferencovatelné na $\langle a,b \rangle$, pak pro libovolnou normální posloupnost dělení $\sigma$ intervalu $\langle a,b \rangle$ existuje konečná limita \[ L = \lim_{n\to\infty} \ell(\sigma_n) = \int_a^b \sqrt{f'(t)^2 + g'(t)^2} \mathrm{d} t. \] @@ -1824,7 +1833,7 @@ Jak vypočíst délku křivky? Umíme snadno počítat délku úseček spojujíc \] kde $\alpha_i,\beta_i \in \langle t_i, t_{i-1}\rangle$, $i=1,2,\ldots,n$. - Kdyby $\alpha_i = \beta_i$, pak by se jednalo o integrální součet funkce $f(x) = \sqrt{f'(x)^2 + g'(x)^2}$ při rozdělení $\sigma$. Pro normální posloupnost rozdělení bychom pak dostali integrál z dané funkce. + Kdyby $\alpha_i = \beta_i$, pak by se jednalo o integrální součet funkce $f(x) = \sqrt{f'(x)^2 + g'(x)^2}$ při dělení $\sigma$. Pro normální posloupnost dělení bychom pak v limitě dostali integrál z dané funkce. Složitějšími manipulacemi lze ukázat, že při různých $\alpha_i$ a $\beta_i$ se $\ell(\sigma)$ málo liší od integrálního součtu. \end{proof} @@ -1917,8 +1926,8 @@ Uvažme funkci $f$ diferencovatelnou na intervalu $\langle a,b \rangle$. Derivac \end{tikzpicture} \par} - Označme vertikální polohu kamene v čase $t$ jako $h(t)$, hladině odpovídá $h=0$. Při volném pádu je kámen urychlován pouze gravitačním - zrychlením, tedy + Označme vertikální polohu kamene v čase $t$ jako $h(t)$, hladině odpovídá $h=0$. Při volném pádu je kámen urychlován pouze tíhovou silou, + tedy \[ h''(t) = -g \] @@ -2310,16 +2319,16 @@ Zavádí se ještě další symboly, např. pokud máme $(a_n)$ a $(b_n)$, $b_n \end{tikzpicture} \hfill \begin{tikzpicture}[smooth,yscale=.5,xscale=.9] - \draw[thick,->] (-.2,0) -- (5.3,0) node[below] {$x$}; + \draw[thick,->] (-.2,0) -- (6.3,0) node[below] {$x$}; \draw[thick,->] (0,-.5) -- (0,12) node[left] {$y$}; \foreach \n in {1,2,...,5} { \draw[gray,dashed,thin] (0,{pow(\n,1.5)}) -- (\n,{pow(\n,1.5)}); - \draw[fill=blue!30] ({\n-1},0) rectangle (\n,{pow(\n,1.5)}); + \draw[fill=blue!30] ({\n},0) rectangle ({\n+1},{pow(\n,1.5)}); \node[below] at (\n,0) {$\n$}; \node[left] at (0,{pow(\n,1.5)}) {$f(\n)$}; } - \draw[red,thick] (4,{pow(5,1.5)}) -- (5,{pow(5,1.5)}); - \draw[red,thick,domain=0:4] plot (\x,{pow(\x+1,1.5)}); + \draw[red,thick] (5,{pow(5,1.5)}) -- (6,{pow(5,1.5)}); + \draw[red,thick,domain=1:5] plot (\x,{pow(\x,1.5)}); \end{tikzpicture} \par} @@ -2337,7 +2346,7 @@ Zavádí se ještě další symboly, např. pokud máme $(a_n)$ a $(b_n)$, $b_n \[ \frac{1}{3} n^3 + \frac{2}{3} \leq a_n \leq \frac{1}{3} n^3 + n^2 - \frac{1}{3}. \] - Pro velká $n$ je největším členem $\frac{1}{3} n^3$, přesněji + Pro velká $n$ je největším členem $\frac{1}{3} n^3$, přesněji, z věty o limitě sevřené posloupnosti plyne \[ \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{\frac{1}{3}n^3} = 1. \qedhere \] @@ -2371,7 +2380,7 @@ Zavádí se ještě další symboly, např. pokud máme $(a_n)$ a $(b_n)$, $b_n \begin{pozn} Tento odhad už je pro většinu aplikací dostatečný. Lze ho však ještě dále zlepšovat. - Všimněte, že narozdíl od předchozího příkladu nám nyní nedává posloupnost $(b_n)$ + Všimněte, že na rozdíl od předchozího příkladu nám nyní nedává posloupnost $(b_n)$ takovou, že \[ \lim_{n\to\infty} \frac{n!}{b_n} = 1. @@ -2531,7 +2540,7 @@ procedure bubbleSort(A : array of length n) sorted = true for i in 1 to k do if A[i] > A[i+1] then - swap( A[i-1], A[i] ) + swap( A[i], A[i+1] ) sorted = false end if end for @@ -2543,7 +2552,7 @@ end procedure Celkový počet porovnání může být nejhůře (pokud je na vstupu seznam v přesně opačném pořadí) \[ (n-1) + (n-2) + \cdots + 2 + 1 = \sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{n(n-1)}{2}. \] -Pokud je na vstupu již setříděný seznam, pak algoritmus provede $(n-1)$ porovnání (nejlepší varianta). Můžeme tedy shrnout, že pro složitost Bubble sort platí +Pokud je na vstupu již setříděný seznam, pak algoritmus provede $(n-1)$ porovnání (nejlepší varianta). Označíme-li počet porovnání při konkrétním vstupu o velikosti $n$ jako $T_n$, můžeme tedy shrnout, že pro složitost Bubble sort platí \[ T_n = \mathcal{O}(n^2). \] \DTLloaddb{bubble}{../bubble.csv} @@ -2571,10 +2580,10 @@ Pokud je na vstupu již setříděný seznam, pak algoritmus provede $(n-1)$ por Nechť je opět dán vstup $\{x_1,\, x_2,\, \ldots, x_n \}$. \begin{itemize} - \item Vyberme náhodně prvek ze seznamu (nazývaný \emph{pivot}). + \item Vyber náhodně prvek ze seznamu (nazývaný \emph{pivot}). \item Prvky ze seznamu menší než pivot, dej do jednoho podseznamu a prvky větší do druhého podseznamu. \item Dva kratší seznamy uspořádej podle velikosti. - \item Spoj uspořádaný první seznam, za něj dej pivota a připoji uspořádaný druhý seznam. + \item Spoj uspořádaný první seznam, za něj dej pivota a připoj uspořádaný druhý seznam. \end{itemize} Algoritmus probíhá rekurentně. Uspořádání dvouprvkového seznamu je jednoduché. Označme nyní $T_n$ \emph{průměrný počet porovnání} pro uspořádání seznamu délky $n$ pomocí algoritmu \textit{Quick sort}. @@ -2586,7 +2595,7 @@ Sečtením těchto vztahů pro $r=1,\, 2,\, \ldots, \, n$: \sum_{r=1}^n T_n = \sum_{r=1}^n (n-1) + \sum_{r=1}^n \big( T_{r-1} + T_{n-r} \big) \quad \Longrightarrow \quad n T_n = n(n-1) + 2 \sum_{r=1}^{n-1} T_r. \] -Poslední rovnost vyjádřeme pro $k-1$ místo $k$ a oba vztahy odečtěme (zbavíme se tím součtu vpravo): +Poslední rovnost vyjádřeme pro $k$ a pro $k-1$ a oba vztahy odečtěme (zbavíme se tím součtu vpravo): \begin{align*} k T_k &= k(k-1) + 2 \sum_{r=1}^{k-1} T_r, \\ (k-1) T_{k-1} &= (k-1)(k-2) + 2 \sum_{r=1}^{k-2} T_r, \\